private static Precomputed FlippedMillerLoopDoubling(Bn128Fp2 g2)
{
Fp2 x = g2.X, y = g2.Y, z = g2.Z;
Fp2 a = Fp.InverseOf2.Mul(x.Mul(y)); // a = x * y / 2
Fp2 b = y.Squared(); // b = y^2
Fp2 c = z.Squared(); // c = z^2
Fp2 d = c.Add(c).Add(c); // d = 3 * c
Fp2 e = Parameters.Fp2B.Mul(d); // e = twist_b * d
Fp2 f = e.Add(e).Add(e); // f = 3 * e
Fp2 g = Fp.InverseOf2.Mul(b.Add(f)); // g = (b + f) / 2
Fp2 h = y.Add(z).Squared().Sub(b.Add(c)); // h = (y + z)^2 - (b + c)
Fp2 i = e.Sub(b); // i = e - b
Fp2 j = x.Squared(); // j = x^2
Fp2 e2 = e.Squared(); // e2 = e^2
Fp2 rx = a.Mul(b.Sub(f)); // rx = a * (b - f)
Fp2 ry = g.Squared().Sub(e2.Add(e2).Add(e2)); // ry = g^2 - 3 * e^2
Fp2 rz = b.Mul(h); // rz = b * h
Fp2 ell0 = Parameters.Twist.Mul(i); // ell_0 = twist * i
Fp2 ellVw = h.Negate(); // ell_VW = -h
Fp2 ellVv = j.Add(j).Add(j); // ell_VV = 3 * j
return(new Precomputed(
new Bn128Fp2(rx, ry, rz),
new EllCoeffs(ell0, ellVw, ellVv)
));
}
private static Precomputed FlippedMillerLoopMixedAddition(Bn128Fp2 baseElement, Bn128Fp2 addend)
{
Fp2 x1 = addend.X, y1 = addend.Y, z1 = addend.Z;
Fp2 x2 = baseElement.X, y2 = baseElement.Y;
Fp2 d = x1.Sub(x2.Mul(z1)); // d = x1 - x2 * z1
Fp2 e = y1.Sub(y2.Mul(z1)); // e = y1 - y2 * z1
Fp2 f = d.Squared(); // f = d^2
Fp2 g = e.Squared(); // g = e^2
Fp2 h = d.Mul(f); // h = d * f
Fp2 i = x1.Mul(f); // i = x1 * f
Fp2 j = h.Add(z1.Mul(g)).Sub(i.Double()); // j = h + z1 * g - 2 * i
Fp2 x3 = d.Mul(j); // x3 = d * j
Fp2 y3 = e.Mul(i.Sub(j)).Sub(h.Mul(y1)); // y3 = e * (i - j) - h * y1)
Fp2 z3 = z1.Mul(h); // z3 = Z1*H
Fp2 ell0 = Parameters.Twist.Mul(e.Mul(x2).Sub(d.Mul(y2))); // ell_0 = TWIST * (e * x2 - d * y2)
Fp2 ellVv = e.Negate(); // ell_VV = -e
Fp2 ellVw = d; // ell_VW = d
return(new Precomputed(
new Bn128Fp2(x3, y3, z3),
new EllCoeffs(ell0, ellVw, ellVv)
));
}