// Solve a line segment using barycentric coordinates.
//
// p = a1 * w1 + a2 * w2
// a1 + a2 = 1
//
// The vector from the origin to the closest point on the line is
// perpendicular to the line.
// e12 = w2 - w1
// dot(p, e) = 0
// a1 * dot(w1, e) + a2 * dot(w2, e) = 0
//
// 2-by-2 linear system
// [1 1 ][a1] = [1]
// [w1.e12 w2.e12][a2] = [0]
//
// Define
// d12_1 = dot(w2, e12)
// d12_2 = -dot(w1, e12)
// d12 = d12_1 + d12_2
//
// Solution
// a1 = d12_1 / d12
// a2 = d12_2 / d12
/// <summary>
/// Solves the 2
/// </summary>
internal void Solve2()
{
Vec2 w1 = V1.W;
Vec2 w2 = V2.W;
Vec2 e12 = w2 - w1;
// w1 region
float d122 = -Vec2.Dot(w1, e12);
if (d122 <= 0.0f)
{
// a2 <= 0, so we clamp it to 0
V1.A = 1.0f;
Count = 1;
return;
}
// w2 region
float d121 = Vec2.Dot(w2, e12);
if (d121 <= 0.0f)
{
// a1 <= 0, so we clamp it to 0
V2.A = 1.0f;
Count = 1;
V1 = V2;
return;
}
// Must be in e12 region.
float invD12 = 1.0f / (d121 + d122);
V1.A = d121 * invD12;
V2.A = d122 * invD12;
Count = 2;
}
// Possible regions:
// - points[2]
// - edge points[0]-points[2]
// - edge points[1]-points[2]
// - inside the triangle
/// <summary>
/// Solves the 3
/// </summary>
internal void Solve3()
{
Vec2 w1 = V1.W;
Vec2 w2 = V2.W;
Vec2 w3 = V3.W;
// Edge12
// [1 1 ][a1] = [1]
// [w1.e12 w2.e12][a2] = [0]
// a3 = 0
Vec2 e12 = w2 - w1;
float w1E12 = Vec2.Dot(w1, e12);
float w2E12 = Vec2.Dot(w2, e12);
float d121 = w2E12;
float d122 = -w1E12;
// Edge13
// [1 1 ][a1] = [1]
// [w1.e13 w3.e13][a3] = [0]
// a2 = 0
Vec2 e13 = w3 - w1;
float w1E13 = Vec2.Dot(w1, e13);
float w3E13 = Vec2.Dot(w3, e13);
float d131 = w3E13;
float d132 = -w1E13;
// Edge23
// [1 1 ][a2] = [1]
// [w2.e23 w3.e23][a3] = [0]
// a1 = 0
Vec2 e23 = w3 - w2;
float w2E23 = Vec2.Dot(w2, e23);
float w3E23 = Vec2.Dot(w3, e23);
float d231 = w3E23;
float d232 = -w2E23;
// Triangle123
float n123 = Vec2.Cross(e12, e13);
float d1231 = n123 * Vec2.Cross(w2, w3);
float d1232 = n123 * Vec2.Cross(w3, w1);
float d1233 = n123 * Vec2.Cross(w1, w2);
// w1 region
if (d122 <= 0.0f && d132 <= 0.0f)
{
V1.A = 1.0f;
Count = 1;
return;
}
// e12
if (d121 > 0.0f && d122 > 0.0f && d1233 <= 0.0f)
{
float invD12 = 1.0f / (d121 + d122);
V1.A = d121 * invD12;
V2.A = d121 * invD12;
Count = 2;
return;
}
// e13
if (d131 > 0.0f && d132 > 0.0f && d1232 <= 0.0f)
{
float invD13 = 1.0f / (d131 + d132);
V1.A = d131 * invD13;
V3.A = d132 * invD13;
Count = 2;
V2 = V3;
return;
}
// w2 region
if (d121 <= 0.0f && d232 <= 0.0f)
{
V2.A = 1.0f;
Count = 1;
V1 = V2;
return;
}
// w3 region
if (d131 <= 0.0f && d231 <= 0.0f)
{
V3.A = 1.0f;
Count = 1;
V1 = V3;
return;
}
// e23
if (d231 > 0.0f && d232 > 0.0f && d1231 <= 0.0f)
{
float invD23 = 1.0f / (d231 + d232);
V2.A = d231 * invD23;
V3.A = d232 * invD23;
Count = 2;
V1 = V3;
return;
}
// Must be in triangle123
float invD123 = 1.0f / (d1231 + d1232 + d1233);
V1.A = d1231 * invD123;
V2.A = d1232 * invD123;
V3.A = d1233 * invD123;
Count = 3;
}